เฉลยการบ้านบางข้อและข้อสอบ Test I ข้อสุดท้าย

รอบนี้เป็นไฟล์ .jpg นะคะ

คาบที่ 13 ทฤษฎีจำนวน 2

ในวันนี้เราได้แสดงการพิสูจน์ ทฤษฎีบทที่ 2.16 และได้สรุปว่า คอนเวอร์เจนท์อันดับที่ k+1 ของจำนวนอตรรกยะ \alpha สามารถประมาณค่าได้ดีกว่า คอนเวอร์เจนท์อันดับที่ k และในบรรดาจำนวนตรรกยะ $a/b$ ซึ่งประมาณค่าของ \alpha ได้ดีกว่า C_k = \frac{A_k}{B_k} เราพบว่า $b > B_k$

คาบที่ 12 ทฤษฎีจำนวน 2 (3 ชั่วโมง)

วันนี้ เราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 2.11 จนจบและ ได้ศึกษาตอนที่ 2.7 นั่นคือการประมาณค่าจำนวนอตรรกยะโดยใช้เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ โดยเราได้ศึกษาทฤษฎีบทที่ 2.12
จากนั้นเราได้ศึกษาทฤษฎีบทที่ 2.14, 2.15 และ 2.16 โดยเรายังไม่ได้ทำการพิสูจน์แต่ได้มีการวิเคราะห์ ความหมายของคำกล่าวในแต่ละทฤษฎีบท
ในที่่นี้ให้นักศึกษาศึกษา ทบ. 2.14, 2.15 ด้วยตัวเอง สำหรับทฤษฎีบทที่ 2.16 ผู้สอนจะแสดงวิธีพิสูจน์ให้ดูในคาบถัดไป

คะแนนสอบย่อย 1

คะแนนสอบย่อยครั้งที่ 1 เก็บ 10 %

คะแนนสอบ

คาบที่ 11 ทฤษฎีจำนวน 2

ในวันนี้ เราได้ศึกษาจำนวนอตรรกยะกำลังสอง นั่นคือบทตั้ง 2.8, และ 2.9 จากนั้นเราได้พิสูจน์ทฤษฎีบท 2.10 นั่นคือ การเขียนเศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ของจำนวนอตรรกยะกำลังสองซึ่งเป็กอีกวิธีหนึ่งในการหาเศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ของจำนวนอตรรกยะกำลังสอง ซึ่งบทนิยามของ P_k, Q_k ในทฤษฎีบทนี้ จะถูกนำมาใช้ในทฤษฎีบทที่ 2.11 เพื่อพิสูจน์ว่า \alpha มีเศษส่วนต่อเนื่่องอนันต์อย่างง่ายแบบเป็นคาบ ก็ต่อเมื่อ \alpha เป็นจำนวนอตรรกยะกำลังสอง

งานวิจัยทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับวิชา ทฤษฎีจำนวน 2

Luo, Ming, On Triangular Fibonacci Numbers, Fibo. Quart., 1989, No 27, Number 2.

http://fq.math.ca/Scanned/27-2/ming.pdf

B. Srinivasa_Rao, Heptagonal numbers in the Fibonacci sequence and Diophantine equation 4x^2 = 5y^2(5y-3)^2 \pm 16, Fibo. Quart., 2003, No 41, Number 5.

http://fq.math.ca/Scanned/41-5/rao.pdf

Arzu Ozkoc, Ahmet Tekcan, Ismail Naci Cangul, Solving some parametric quadratic Diophantine equation over \mathbb{Z} and
$\mathbb{F}_p$, Applied Mathematics and Computation

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0096300311004395

คาบที่ 10 ทฤษฎีจำนวน 2

วันนี้ เราพิสูจน์ทฤษฎีบท 2.5 ต่อนั่นคือ พิสูจน์ การเขียนเศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ของจำนวนอตรรกยะซึ่งทำได้แบบเดียวเท่านั้น จากนั้น พิสูจน์ทฤษฎีบท 2.6 ซึ่งกล่าวถึง
ค่าคอนเวอร์คู่และคอนเวอร์เจนท์คี่ของเศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ และในทฤษฎีบทที่ 2.7 เราได้พิสูจน์ว่า เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์อย่างง่ายเป็นจำนวนอตรรกยะ

จากนั้นจึงขึ้นหัวข้อ 2.5 เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์แบบเป็นคาบ โดยได้กล่าวถึงบทนิยาม 2.3 และ 2.4

วันนี้ ได้สั่งงานให้นักศึกษาไปเขียนสรุปเรื่องที่เรียนมาทั้งหมดใส่กระดาษ A4 1 แผ่น โดยให้ นำมาส่งในวันพฤหัสที่ 8 ธันวาคม 2554

คาบที่ 9 ทฤษฎีจำนวน 2

วันนี้ เราได้ศึกษาคอนเวอร์เจนท์อันดับต่างๆ และเราได้พิสูจน์ว่า คอนเวอร์เจนท์คู่เป็นลำดับเพิ่ม คอนเวอร์เจนท์คี่เป็นลำดับลด (ทฤษฎีบท 2.4)

จากนั้นเราได้ศึกษาเศษส่วนต่อเนื่องอนันต์โดยได้เริ่มพิสูจน์ ทฤษฎีบท 2.5 แต่ยังทำไม่จบ โดยค้างในส่งที่พิสูจน์ว่า เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์อย่างง่ายของ

จำนวนอตรรกยะมีเพียงแบบเดียวเท่านั้น ซึ่งแตกต่างจาก เศษส่วนต่อเนื่องจำกัดอย่างง่ายของจำนวนตรรกยะซึ่งเขียนได้สองแบบ

คาบที่ 8 ทฤษฎีจำนวน 2

ในวันนี้เรานิยามลำดับขึ้นมาใหม่สองลำดับคือ ลำดับ A_n และ B_n สำหรับ n \geq -2 เพื่อใช้ในการหาค่าของคอนเวอร์เจนท์อันดับที่ k
C_k

ซึ่งคือทฤษฎีบทที่ 2.2 และลำดับต่อมาเราศึกษาทฤษฎีบทที่ 2.3 ซึ่งเป็นสมบัติของ ลำดับ A_n และ B_n และลำดับ C_n

คาบที่ 7 ทฤษฎีจำนวน 2

ในวันนี้ เราได้ศึกษาเรื่องเศษส่วนต่อเนื่องจำกัด โดยเราได้พิสูจน์ทฤษฎีบท 2.1 ที่ว่า
จำนวนจริง \alpha เป็นจำนวนตรรกยะ ก็ต่อเมื่อ \alpha เขียนได้ในรูปเศษส่วนต่อเนื่องจำกัดอย่างง่าย

จาำกนั้นเราได้ศึกษาบทนิยามของคอนเวอร์เจนท์อันดับที่ k ของเศษส่วนต่อเนื่องจำกัด

ในวันนี้สิ่งที่นักศึกษาควรจะทำให้ได้คือการเขียนจำนวนตรรกยะในรูปเศษส่วนต่อเนื่องจำกัดอย่างง่าย และการหาค่าของเศษส่วนต่อเนื่องจำกัดอย่างง่าย

การบ้านสำหรับส่งวันที่ 24 พฤศจิกายนคือ แบบฝึกหัด 1.6 และ แบบฝึุกหัด 2.2 (ข้อ 1 ถึงข้อ 7)